Question

19．已知a＞b＞1，若log_ab+log_ba=$\frac{10}{3}$，a^b=b^a，则由a，b，3b，b²，a-2b构成的包含元素最多的集合的子集个数是（　　）

• A． 32
• B． 16
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 设t=log_ba并由条件求出t的范围，代入log_ab+log_ba=$\frac{10}{3}$化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入a^b=b^a化简后列出方程，求出a、b的值．然后求解子集个数．

解答 解：设t=log_ba，由a＞b＞1知t＞1，
代入log_ab+log_ba=t+$\frac{1}{t}$=$\frac{10}{3}$，
即3t²-10t+3=0，解得t=3或t=$\frac{1}{3}$（舍去），
所以log_ba=3，即a=b³，
因为a^b=b^a，所以b^3b=b^a，则a=3b=b³，
解得b=$\sqrt{3}$，a=3$\sqrt{3}$，
a，b，3b，b²，a-2b分别为：$3\sqrt{3}$；$\sqrt{3}$；3$\sqrt{3}$；3；$\sqrt{3}$；
组成集合{$\sqrt{3}$，3，3$\sqrt{3}$}．
它的子集个数为：2³=8．
故选：C．

点评 本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，集合的基本运算，属于基础题．