题目内容

8．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点分别为F1、F2，离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知直x-y+m=0与椭圆E交于不同的两点A，B，且线AB的中点不在圆${x^2}+{y^2}=\frac{5}{9}$内，求m的取值范围．

分析 （Ⅰ）由已知列关于a，b，c的方程，联立方程求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求得AB的中点坐标，再由AB的中点不在圆${x^2}+{y^2}=\frac{5}{9}$内结合判别式可得m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又a2=b2+c2，且${（{s_{△p{F_1}F{\;}_2}}）_{max}}=\frac{1}{2}×2c×b=1$，
联立解得：$a=\sqrt{2}，b=1$，c=1．
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$，消去y整理得：3x2+4mx+2m2-2=0．
则△=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）＞0，解得$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，
${y}_{1}+{y}_{2}={x}_{1}+{x}_{2}+2m=-\frac{4m}{3}+2m=\frac{2m}{3}$，即AB的中点为（$-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$）．
又AB的中点不在圆${x^2}+{y^2}=\frac{5}{9}$内，
∴$\frac{4{m}^{2}}{9}+\frac{{m}^{2}}{9}=\frac{5{m}^{2}}{9}≥\frac{5}{9}$，解得：m≤-1或m≥1．
综上可知，$-\sqrt{3}＜m≤-1$或1$≤m＜\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．

练习册系列答案
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18．下列说法正确的是（　　）
A．“f（0）”是“函数 f（x）是奇函数”的充要条件
B．若 p：?x0∈R，x02-x0-1＞0，则￢p：?x∈R，x2-x-1＜0
C．若 p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．“若α=$\frac{π}{6}$，则sinα=$\frac{1}{2}$”的否命题是“若 α≠$\frac{π}{6}$，则 sinα≠$\frac{1}{2}$”
19．已知a＞b＞1，若logab+logba=$\frac{10}{3}$，ab=ba，则由a，b，3b，b2，a-2b构成的包含元素最多的集合的子集个数是（　　）
A．32B．16C．8D．4
16．命题p：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＜0}\\{ln（x+1），x≥0}\end{array}\right.$且|f（x）|≥ax．q：函数g（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，g（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a2|+|x-2a2|-3a2），且?x∈R，f（x-1）≤f（x）恒成立．
（1）若p且q为真命题，求a的取值范围；
（2）若p或q为真命题，求a的取值范围．
3．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
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④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+bx+2，x≤0}\\{|2-x|，x＞0}\end{array}\right.$，若f（-4）=f（0），则函数y=f（x）-ln（x+2）的零点个数有（　　）
A．6B．4C．5D．7
20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sk=2，S3k=18，则S4k=（　　）
A．24B．28C．32D．54
17．执行如图所示的流程图，则输出的M应为2 
18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若$\overrightarrow{NF}=2\overrightarrow{FP}$．
（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：$\frac{k}{k'}$为定值；
（2）若$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{FP}$且△APQ的面积为$\frac{{12\sqrt{15}}}{5}$，求椭圆C的方程．

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