Question

9．已知函数f（x）=$\frac{sinx}{e^x}$，定义域为[0，2π]，g（x） 为f（x） 的导函数．
（1）求方程g（x）=0 的解集；
（2）求函数g（x） 的最大值与最小值；
（3）若函数F（x）=f（x）-ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=-$\frac{sinx}{{e}^{x}}$+$\frac{cosx}{{e}^{x}}$，由方程g（x）=0 得$g（x）=\frac{cosx}{{e}^{x}}-\frac{sinx}{{e}^{x}}$=0，由此能求出方程g（x）=0 的解集．
（2）${g}^{'}（x）=-\frac{cosx}{{e}^{x}}-\frac{sinx}{{e}^{x}}$+$\frac{sinx}{{e}^{x}}$-$\frac{cosx}{{e}^{x}}$=-2×$\frac{cosx}{{e}^{x}}$，令g′（x）=0，解得x=$\frac{π}{2}$或x=$\frac{3π}{2}$，由此利用导数性质能求出g（x）的最值．
（3）函数F（x）=f（x）-ax在定义域上恰有2个极值点，等价于y=a的图象恰恰有两个交点，由此利用分类讨论思想能求出实数a 的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{sinx}{e^x}$，定义域为[0，2π]，
∴f′（x）=-$\frac{sinx}{{e}^{x}}$+$\frac{cosx}{{e}^{x}}$，
∵g（x） 为f（x） 的导函数，
∴由方程g（x）=0 得$g（x）=\frac{cosx}{{e}^{x}}-\frac{sinx}{{e}^{x}}$=0，
解得$x=\frac{π}{4}$，或x=$\frac{5π}{4}$，
∴方程g（x）=0 的解集为{$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$}．
（2）∵${g}^{'}（x）=-\frac{cosx}{{e}^{x}}-\frac{sinx}{{e}^{x}}$+$\frac{sinx}{{e}^{x}}$-$\frac{cosx}{{e}^{x}}$=-2×$\frac{cosx}{{e}^{x}}$，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{π}{2}$或x=$\frac{3π}{2}$，

x	0	（0，$\frac{π}{2}$）	$\frac{π}{2}$	（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）	$\frac{3π}{2}$	（$\frac{3π}{2}$，2π）	2π
g′（x）		-	0	+	0	-
g（x）	1	↓	$-{e}^{-\frac{π}{2}}$	↑	${e}^{-\frac{3π}{2}}$	↓	e-2π

∴g（x）的最大值为g（0）=1，
∴g（x）的最小值为g（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{{e}^{\frac{π}{2}}}$．
（3）∵${F}^{'}（x）=-\frac{sinx}{{e}^{x}}+\frac{cosx}{{e}^{x}}$-a=g（x）-a，
∴函数F（x）=f（x）-ax在定义域上恰有2个极值点，
等价于g（x）-a=0在定义域上恰有两个零点且零点处异号，
即y=a的图象恰有两个交点，
由（2）知F′（0）=g（0）-a=1-a，
F′（2π）=g（2π）-a=e^-2π-a，
${F}^{'}（\frac{3π}{2}）=g（\frac{3π}{2}）-a={e}^{-\frac{3π}{2}}-a$，
F′（2π）=g（2π）-a=e^-2π-a，
若${F}^{'}（\frac{3π}{2}）＜0$，则F′（2π）＜0，
∴F′（x）=0只有一个零点，不成立．∴${F}^{'}（\frac{3π}{2}）≥0$．
若${F}^{'}（\frac{3π}{2}）=0$，即a=${e}^{-\frac{3π}{2}}$在x=$\frac{3π}{2}$处同号，不成立；
若F′（2π）≤0，则F′（x）=0有3个零点，不成立．
∴只有F′（2π）＞0，
∴满足条件为：$\left\{\begin{array}{l}{{F}^{'}（\frac{π}{2}）=g（\frac{π}{2}）-a={e}^{-\frac{π}{2}}-a＜0}\\{{F}^{'}（2π）=g（2π）-a={e}^{-2π}-a＞0}\end{array}\right.$，
解得$-{e}^{-\frac{π}{2}}$＜a＜e^-2π或a=${e}^{-\frac{3π}{2}}$．
∴实数a 的取值范围是{a|$-{e}^{-\frac{π}{2}}$＜a＜e^-2π或a=${e}^{-\frac{3π}{2}}$}．

点评 本题考查方程的解集的求法，考查函数的最值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．