Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_{\frac{1}{2}}}（x+1），x∈（-1，1）\\-{x^2}+4x-4，x∈[1，+∞）\end{array}$
（1）在给定直角坐标系内直接画出f（x）的草图（不用列表描点），并由图象写出函数 f（x）的单调减区间；
（2）当m为何值时f（x）+m=0有三个不同的零点．

Answer 1

分析 （1）根据函数解析式得到函数的图象，根据图象分别找到图象上升和下降的部分，即可得到单调区间；
（2）作出直线y=-m，f（x）+m=0有三个不同的零点等价于函数y=-m和函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点．

解答 解：（1）作出 f（x）的图象．如右图所示…．（4分）
由图象可知该函数的单调减区间为（-1，1），（2，+∞）…（6分）
（2）作出直线y=-m，f（x）+m=0有三个不同的零点等价于函数y=-m和函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点…（8分）
由y=f（x）的图象可知，-m∈（-1，0）…（11分）
∴m∈（0，1）…（12分）

点评 本题考查分段函数的应用，考查函数的零点，以及函数的图象，由图象求得单调区间，属于中档题．