Question

7．已知函数f（x）=3^1+|x|-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{1}{3}，1}）$
• B． $（{-∞，\frac{1}{3}}）∪（{1，+∞}）$
• C． （-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）
• D． $（{-∞，-\frac{1}{3}}）∪（{\frac{1}{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 分析函数的奇偶性和单调性，进而可将f（x）＞f（2x-1）化为：|x|＞|2x-1|，即x²＞（2x-1）²，解得答案．

解答 解：函数f（x）=3^1+|x|-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$为偶函数，
当x≥0时，f（x）=3^1+x-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$
∵此时y=3^1+x为增函数，y=$\frac{1}{{1+{x^2}}}$为减函数，
∴当x≥0时，f（x）为增函数，
则当x≤0时，f（x）为减函数，
∵f（x）＞f（2x-1），
∴|x|＞|2x-1|，
∴x²＞（2x-1）²，
解得：x∈$（{\frac{1}{3}，1}）$，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．