Question

设点O为坐标原点，A（2，1），且点P（x，y）在椭圆

(x-1)2

9

+

(y+1)2

16

=1上，则|

.

OP

|•cos∠AOP的最大值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：化简得：∵|

.

OP

|•cos∠AOP=

OP • OA

| OA |

=

2x+y

5

，根据椭圆的三角变换得出：x=1+3cosθ，y=4sinθ-1，θ∈[0，2π），利用三角函数求解：|

.

OP

|•cos∠AOP=

4sinθ+6cosθ+1

5

，

解答： 解：∵点P（x，y）在椭圆

(x-1)2

9

+

(y+1)2

16

=1上，

OA

=（2，1），

OP

=（x，y），
∴x=1+3cosθ，y=4sinθ-1，θ∈[0，2π），
∵|

.

OP

|•cos∠AOP=

OP • OA

| OA |

=

2x+y

5

，
∴|

.

OP

|•cos∠AOP=

4sinθ+6cosθ+1

5

，
∴最大值为

2 13 +1

5

=

2 65 + 5

5

，
故答案为：

2 65 + 5

5

，

点评：本题考查了椭圆的参数方程，结合向量求解，属于综合题，难度较大．