若椭圆${C 1}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.F1.F2分别为其左.右焦点．(1)若点P与F1.F2的距离之比为$\frac{1}{3}$.求直线$x-\sqrt{2}y+\sqrt{3}=0$被点P所在的曲线C2截得的弦长,(2)设A1.A2分别为椭圆C1的左.右顶点.Q为C1上异于A1.A2的任� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．若椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点（2，1），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F₁，F₂分别为其左、右焦点．
（1）若点P与F₁，F₂的距离之比为$\frac{1}{3}$，求直线$x-\sqrt{2}y+\sqrt{3}=0$被点P所在的曲线C₂截得的弦长；
（2）设A₁，A₂分别为椭圆C₁的左、右顶点，Q为C₁上异于A₁，A₂的任意一点，直线A₁Q交C₁的右准线于点M，直线A₂Q交C₁的右准线于点N，试问$\overrightarrow{M{F_2}}•\overrightarrow{N{F_2}}$是否为定值，若是，求出其定值，若不是，说明理由．

分析（1）根据椭圆的性质求出a，b，c的值，从而求出曲线C₂的方程，进而求出弦长即可；
（2）分别求出直线A₁Q和直线A₂Q的方程，求出点M，N的坐标，从而求出$\overrightarrow{M{F_2}}•\overrightarrow{N{F_2}}$，判断即可．

解答解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）过点（2，1），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1①，又其离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}^{2}{-b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴b²=$\frac{1}{2}$a²②，
把②代入①得：a²=6③，
把③代入②得：b²=3，
∴椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，其焦点在x轴上，
又c=$\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}$=$\sqrt{6-3}$=$\sqrt{3}$，
∴其左右焦点的坐标分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
设点P的坐标为P（x，y），
由已知条件得：$\frac{\sqrt{{（x+\sqrt{3}）}^{2}{+y}^{2}}}{\sqrt{{（x-\sqrt{3}）}^{2}{+y}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，化简得：2x²+2y²+5$\sqrt{3}$x+6=0，
∴点P所在的曲线C₂的方程为：2x²+2y²+5$\sqrt{3}$x+6=0，即${（x+\frac{5\sqrt{3}}{4}）}^{2}$+y²=${（\frac{3\sqrt{3}}{4}）}^{2}$，
曲线C₂为圆，圆心坐标为O′（-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，0），半径r=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
设圆心O′到直线x-$\sqrt{2}$y+$\sqrt{3}$=0的距离为d=$\frac{|-\frac{5\sqrt{3}}{4}-0+\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{4}$，
∴直线x-$\sqrt{2}$y+$\sqrt{3}$=0被曲线C₂所截弦长为2×$\sqrt{{（\frac{3\sqrt{3}}{4}）}^{2}{-（\frac{1}{4}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，；
（2）证明：设Q（x₀，y₀），（y₀≠0），
由（1）的结论可知A₁（-$\sqrt{6}$，0），A₂（$\sqrt{6}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
椭圆C₂的右准线方程为x=2$\sqrt{3}$，
∴直线A₁Q的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{6}}$（x+$\sqrt{6}$），
令x=2$\sqrt{3}$，则y=$\frac{{y}_{0}（2\sqrt{3}+\sqrt{6}）}{{x}_{0}+\sqrt{6}}$
∴点M的坐标为M（2$\sqrt{3}$，$\frac{{y}_{0}（2\sqrt{3}+\sqrt{6}）}{{x}_{0}+\sqrt{6}}$），
同理可得点N的坐标是N（2$\sqrt{3}$，$\frac{{y}_{0}（2\sqrt{3}-\sqrt{6}）}{{x}_{0}-\sqrt{6}}$），
∵点Q（x₀，y₀）（y₀≠0）在椭圆C₁上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{6}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，即${{x}_{0}}^{2}$+2${{y}_{0}}^{2}$=6，${{x}_{0}}^{2}$-6=-2${{y}_{0}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{M{F_2}}=（{\sqrt{3}，\frac{{{y_0}（2\sqrt{3}+\sqrt{6}）}}{{{x_0}+\sqrt{6}}}}）$，$\overrightarrow{N{F_2}}=（{\sqrt{3}，\frac{{{y_0}（2\sqrt{3}-\sqrt{6}）}}{{{x_0}-\sqrt{6}}}}）$，
∴$\overrightarrow{M{F_2}}•\overrightarrow{N{F_2}}=3+\frac{6y_0^2}{x_0^2-6}=0$，
∴$\overrightarrow{M{F_2}}•\overrightarrow{N{F_2}}$为定值．