Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F₁(－1,0)，且点P(0,1)在C₁上．

(1)求椭圆C₁的方程；

(2)设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂：y²＝4x相切，求直线l的方程．

Answer 1

解　(1)因为椭圆C₁的左焦点为F₁(－1,0)，所以c＝1.

把点P(0,1)代入椭圆＋＝1，得＝1，即b＝1，

所以a²＝b²＋c²＝2.

所以椭圆C₁的方程为＋y²＝1.

(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在，且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m.

联立消去y并整理得

(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－2＝0.

因为直线l与椭圆C₁相切，

所以Δ₁＝16k²m²－4(1＋2k²)(2m²－2)＝0，

整理得2k²－m²＋1＝0.①

联立

消去y并整理得k²x²＋(2km－4)x＋m²＝0.

因为直线l与抛物线C₂相切，

所以Δ₂＝(2km－4)²－4k²m²＝0.

整理得km＝1.②

综合①②，解得或

所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.