Question

椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P且离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

 (1)解　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，

由e＝＝，得a＝2c，

∵a²＝b²＋c²，∴b²＝3c²，

则椭圆方程变为＋＝1.

又椭圆过点P，将其代入求得c²＝1，

故a²＝4，b²＝3，

即得椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)证明　设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

联立

得(3＋4k²)x²＋8mkx＋4(m²－3)＝0，

①

又y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)

＝k²x₁x₂＋mk(x₁＋x₂)＋m²＝.

∵椭圆的右顶点为A₂(2,0)，AA₂⊥BA₂，

∴(x₁－2)(x₂－2)＋y₁y₂＝0，

∴y₁y₂＋x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋4＝0，

∴＋＋＋4＝0，

∴7m²＋16mk＋4k²＝0，

解得m₁＝－2k，m₂＝－，

由①，得3＋4k²－m²＞0，

当m₁＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，

直线过定点(2,0)，与已知矛盾．

当m₂＝－时，l的方程为y＝k，

直线过定点，

∴直线l过定点，定点坐标为.