Question

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线DC₁与平面A₁BD所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DC₁与平面A₁BD所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
则D（0，0，0），C₁（0，1，1），A₁（1，0，1），B（1，1，0），
$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
设平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
设直线DC₁与平面A₁BD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{D{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线DC₁与平面A₁BD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．