Question

已知函数，（其中为自然对数的底数，常数）.
（1）若对任意，恒成立，求正实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当取最大值时，试讨论函数在区间上的单调性；
（3）求证：对任意的，不等式成立.

Answer 1

（1）；（2）在区间（3）见解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解函数最值问题和不等式的证明。主要是对于承参数问题的分类讨论思想要深刻体会。
解：（1）由对任意恒成立，即对任意恒成立
令则 得
故在区间上单调递增，在区间上单调递减， ----------------（2分）
得
..---------（1分）
（2）由（1）知   此时,

故在区间.----------（3分）
（3）由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故当时.即即.
从而，对任意成立.--------------------- -------（2分）
于是