Question

设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，3]上的最大值是-7．求c的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）由导函数f'（x）=6x²+6ax+3b，且函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．从而a=-3，b=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x³-9x²+12x+8c，f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．通过讨论函数的单调性，从而得到当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c=-7．进而求出c=-2．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=6x²+6ax+3b，
∵函数f（x）在x=1及x=2取得极值，
则有f'（1）=0，f'（2）=0．
即

6+6a+3b=0 24+12a+3b=0

，
解得a=-3，b=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x³-9x²+12x+8c，
f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；
当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；
当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．
∴当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．
则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c=-7．
∴c=-2．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．