Question

1．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≤0}\\{{x}^{3}-3x，x＞0}\end{array}\right.$，若直线y=kx-$\frac{1}{4}$与f（x）的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{9}{4}$，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （-$\frac{7}{4}$，+∞）
• D． （-3，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{7}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 先画出f（x）的图象，由图象可知，y=kx-$\frac{1}{4}$过定点（-$\frac{1}{4}$，0），当k≥0时，由图象可知，有三个交点，当k＜0时，设直线y=kx-$\frac{1}{4}$与f（x）=x³-3x的切点坐标为（x₀，y₀），利用导数的几何意义求出k的值，再根据斜率公式求出k，继而求出k的值，有图象可知k的范围．

解答 解：画出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≤0}\\{{x}^{3}-3x，x＞0}\end{array}\right.$的图象，如图所示，
∵y=kx-$\frac{1}{4}$过定点（-$\frac{1}{4}$，0），
当k≥0时，由图象可知，有三个交点，
当k＜0时，
设直线y=kx-$\frac{1}{4}$与f（x）=x³-3x的切点坐标为（x₀，y₀），
∴f′（x）=3x²-3，
∴f′（x₀）=3x₀²-3=k=$\frac{{y}_{0}+\frac{1}{4}}{{x}_{0}}$，
即3x₀³-3x₀=y₀+$\frac{1}{4}$
∵y₀=x₀³-3x₀，
∴3x₀³-3x₀=x₀³-3x₀+$\frac{1}{4}$，
解得x₀=$\frac{1}{2}$，
∴k=3x₀²-3=-$\frac{9}{4}$，
∴-$\frac{9}{4}$＜k＜0时，也有三个交点，
综上所述，k的取值范围为（-$\frac{9}{4}$，+∞）．
故选：A．

点评 本题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，本题由于使用了数形结合的方法，使得问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题．