Question

13．已知各项均不为零的数列{a_n}满足：a₁=a₂=1，a_n+2a_n=p•a_n+1²（其中p为非零常数，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=$\frac{n{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，S_n为数列{b_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=a₂=1，a_n+2a_n=p•a_n+1²（其中p为非零常数），可得a₃=p．变形为：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=p•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，利用等比数列的通项公式可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=p^n-1，再利用“累乘求积”即可得出．
（2）对p分类讨论，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=a₂=1，a_n+2a_n=p•a_n+1²（其中p为非零常数），
∴a₃•1=p×1，解得a₃=p．同理可得a₄=p³．
变形为：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=p•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，
∴数列$\{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}\}$从第二项开始为等比数列，公比为p．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=p^n-1，
∴n≥2时，a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•a₂=p^n-2•p^n-3•p^n-4•…•p×1=${p}^{\frac{（n-1）（n-2）}{2}}$．
当n=1时也成立，∴a_n=${p}^{\frac{（n-1）（n-2）}{2}}$．
（2）b_n=$\frac{n{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=np^2n-1，（p≠0）．
当p=1时，数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
当p≠1时，S_n=p+2p³+3p⁵+…+np^2n-1，
∴p²S_n=p³+2p⁵+…+（n-1）p^2n-1+np²ⁿ⁺¹，
∴（1-p²）S_n=p+2（p³+p⁵+…+p^2n-1）-np²ⁿ⁺¹=p+2×$\frac{{p}^{3}（{p}^{2（n-1）-1}）}{{p}^{2}-1}$-np²ⁿ⁺¹=$\frac{（2+n）{p}^{2n+1}-{p}^{3}-p-n{p}^{2n+3}}{{p}^{2}-1}$，
∴S_n=$\frac{{p}^{3}+p+n{p}^{2n+3}-（2+n）{p}^{2n+1}}{（1-{p}^{2}）^{2}}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n+1）}{2}，p=1}\\{\frac{{p}^{3}+p+n{p}^{2n+3}-（2+n）{p}^{2n+1}}{（1-{p}^{2}）^{2}}，p≠0，1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．