Question

16．已知点P在双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支上，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$²-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$²=12a²，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． [3，+∞）
• B． （2，4]
• C． （2，3]
• D． （1，3]

Answer 1

分析 根据双曲线的定义结合平方差公式求出|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4a，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2a，然后根据三角形的边长关系进行求解即可．

解答 解：∵P在双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支上，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$²-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$²=12a²，
∴（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$）（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$）=12a²，
即2a（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$）=12a²，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=6a，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2a，
∴得|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4a，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2a，
则满足|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|≥|F₁F₂|，
即2a+4a≥2c，
则6a≥2c，则e=$\frac{c}{a}$≤3，
∵双曲线的离心率e＞1，
∴1＜e≤3，
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合平方差公式进行转化是解决本题的关键．