Question

设函数（），．
（Ⅰ）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
（Ⅱ）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．　　（Ⅱ）．

(1)解本题的关键是把不等式解集的问题转化为函数零点的分布问题.把函数代入整理得构造结合二次函数的性质得一个零点在区间，则另一个零点必在内，所以解得；也可以分解因式确定解集的端点解得.前提都要保证.
（2）与是否存在“分界线”要先看是否存在公共点，构造函数研究单调性可求出与有公共点，所以分界线必过点设出“分界线”方程为，
证明在恒成立，求出.然后证明恒成立．即可得到所求“分界线”方程为：
（Ⅰ）解法一:不等式的解集中的整数恰有3个，
等价于恰有三个整数解，故，　
令，由
且，
所以函数的一个零点在区间，
则另一个零点一定在区间，           　…………4分
故解之得．　　　       ………………6分
解法二：恰有三个整数解，故，即，
，
所以，又因为，　…………4分
所以，解之得．　　……………6分
（Ⅱ）设，则．
所以当时，；当时，．
因此时，取得最小值，
则与的图象在处有公共点．………8分
设与存在 “分界线”，方程为，
即，
由在恒成立，
则在恒成立 ．
所以
因此．　　　 　………11分
下面证明恒成立．
设，则．
所以当时，；当时，．
因此时取得最大值，则 
故所求“分界线”方程为：．