Question

8．如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，且AE∥CD．
（Ⅰ）证明：P、B、F、A四点共圆；
（Ⅱ）若四边形PBFA的外接圆的半径为$\sqrt{13}$，且PC=CF=FD=3，求圆O的半径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明：∠PAB=∠PFB，A，F在线段PB的同侧，即可证明P、B、F、A四点共圆；
（Ⅱ）由△PAB外接圆的唯一性可得P、B、F、A、O共圆，四边形PBFA的外接圆就是四边形PBOA的外接圆，OP是该外接圆的直径，利用切割线定理、勾股定理，即可得出结论．

解答 证明：（Ⅰ）连接AB，
∵AE∥CD，
∴∠PFB=∠AEB．
又∵PA与圆O切于点A，
∴∠PAB=∠AEB，
∴∠PAB=∠PFB．
又 A，F在线段PB的同侧，
∴P、B、F、A四点共圆．
解：（ II）因为PA、PB是圆O的切线，
所以P、B、O、A四点共圆，
由△PAB外接圆的唯一性可得P、B、F、A、O共圆，
四边形PBFA的外接圆就是四边形PBOA的外接圆，
∴OP是该外接圆的直径，即：$OP=2\sqrt{13}$．
由切割线定理可得PA²=PC•PD=3×9=27
设圆O的半径为r，
∴$r=\sqrt{O{P^2}-P{A^2}}=\sqrt{52-27}=5$，
即：圆O的半径为5．

点评 本题考查圆周角定理，四点共圆的证明，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．