Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）=x²+

a

x

（a＞0）的最小值为3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求不等式|x-a|+|x+1|≤4的解集．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,基本不等式

专题：不等式

分析：（Ⅰ）因为a＞0，x＞0，得到x²+

a

x

≥3

3	x2• a 2x • a 2x

=3

3	a2 4

，当且仅当x²=

a

2x

，即x=

3	a 2

时等号成立，从而求出a的值；
（Ⅱ）原不等式等价于

x≥2 x-2+x+1≤4

或

-1≤x＜2 2-x+x+1≤4

或

x＜-1 2-x-x-1≤4

，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）因为a＞0，x＞0，根据三个正数的算术-几何平均不等式，得
f（x）=x²+

a

x

=x²+

a

2x

+

a

2x

≥3

3	x2• a 2x • a 2x

=3

3	a2 4

，当且仅当x²=

a

2x

，即x=

3	a 2

时等号成立，
又因为函数f（x）的最小值为3，所以3

3	a2 4

=3，（a＞0），
解得：a=2．
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：|x-2|+|x+1|≤4．
原不等式等价于

x≥2 x-2+x+1≤4

或

-1≤x＜2 2-x+x+1≤4

或

x＜-1 2-x-x-1≤4

，
解得-

3

2

≤x≤

5

2

．所以原不等式解集为{x|-

3

2

≤x≤

5

2

}．
解法二：由（Ⅰ）得：|x-2|+|x+1|≤4．
由绝对值的几何意义，可知该不等式即求数轴上到点2和点-1的距离之和不大于4的点的集合．
故原不等式解集为{x|-

3

2

≤x≤

5

2

}．

点评：本小题主要考查平均值不等式、解含有绝对值号的不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想．