Question

6．在数列{a_n}中，已知a₁＜$\frac{3}{2}$，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），且$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$=2，则当a₂₀₁₆-4a₁取得最小值时，a₁的值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，可得$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，代入$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$=2，整理得到${a}_{2016}=\frac{{a}_{1}-2}{2{a}_{1}-3}$，把a₂₀₁₆-4a₁化为含有a₁的函数式，然后利用基本不等式求得最值，同时求得a₁的值．

解答 解：由a_n+1=a_n²-a_n+1，得a_n+1-1=a_n（a_n-1），可得a_n＞1，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．
∴2=$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2}-1}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}-1}-\frac{1}{{a}_{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{2015}-1}-\frac{1}{{a}_{2016}-1}$）
=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2016}-1}$）．
化为${a}_{2016}=\frac{{a}_{1}-2}{2{a}_{1}-3}$，
∴a₂₀₁₆-4a₁=$\frac{{a}_{1}-2}{2{a}_{1}-3}-4{a}_{1}=\frac{{a}_{1}-2-8{{a}_{1}}^{2}+12{a}_{1}}{2{a}_{1}-3}$
=$\frac{-8{{a}_{1}}^{2}+13{a}_{1}-2}{2{a}_{1}-3}$=$-2（2{a}_{1}-3）-\frac{1}{2（2{a}_{1}-3）}-\frac{11}{2}$．
∵a₁＜$\frac{3}{2}$，∴2a₁-3＜0，
则a₂₀₁₆-4a₁=$-2（2{a}_{1}-3）-\frac{1}{2（2{a}_{1}-3）}-\frac{11}{2}$

$≥2\sqrt{-2（2{a}_{1}-3）•（-\frac{1}{2（2{a}_{1}-3）}）}-\frac{11}{2}$=$2-\frac{11}{2}=-\frac{7}{2}$．
当且仅当$（2{a}_{1}-3）^{2}=\frac{1}{4}$，即$2{a}_{1}-3=-\frac{1}{2}$，也就是${a}_{1}=\frac{5}{4}$时取等号．
故a₂₀₁₆-4a₁取得最小值时，a₁的值为$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，考查了数列的函数特性，是中档题．