Question

9．已知$\overrightarrow a=（x+1，y-1），\overrightarrow b=（1，-1）$，$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，则$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 由向量垂直的坐标运算可得x-y=2．求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标，代入向量的模，转化为关于x的二次函数求解．

解答 解：由$\overrightarrow a=（x+1，y-1），\overrightarrow b=（1，-1）$，$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
得（x+1）×1+（y-1）×（-1）=x+1-y+1=0，即x-y=2．
∴$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$=|（x+2，y-2）|=$\sqrt{（x+2）^{2}+（y-2）^{2}}=\sqrt{（x+2）^{2}+（x-4）^{2}}$
=$\sqrt{2{x}^{2}-4x+20}=\sqrt{2（x-1）^{2}+18}$．
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}_{min}=3\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．