Question

【题目】若平面点集 满足：任意点 ，存在 ，都有 ，则称该点集 是“ 阶聚合”点集。现有四个命题：
①若 ，则存在正数 ，使得 是“ 阶聚合”点集；
②若 ，则 是“ 阶聚合”点集；
③若 ，则 是“2阶聚合”点集；
④若 是“ 阶聚合”点集，则 的取值范围是 .
其中正确命题的序号为（ ）
A.①④
B.②③
C.①②
D.③④

Answer 1

【答案】A
【解析】①：M={(x,y)|y=2x}，则点集为 ，(tx,ty)∈M ， ①正确；
②：∵M={(x,y)|y=x2}，取(2,4)，而点(1,2)M ， ②有误；
③：取 为集合M上的一点，则点 ，③有误；
④：∵x2+y21，根据题意，得∴t2(x2+y2)1恒成立，
则 即
∵t∈(0,+∞)，∴t∈(0,1].④正确；
故答案为：A
由题可得，若M中点的横纵坐标同时扩大t倍仍在M中，则成为t阶聚合，所以将每一个选项的x,y同时扩大，看是否满足M中的条件即可。