Question

5．设f（x）=|2x-4|+|x+3|．
（1）解不等式f（x）＞7；
（2）若f（x）-4≥m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）先求出f（x）的最小值，得到m+4≤5，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）原不等式可化为：$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{3x-1＞7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-3＜x＜2}\\{7-x＞7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{1-3x＞7}\end{array}\right.$，
解得x＞$\frac{8}{3}$或-3＜x＜0或x≤-3，
∴原 不等式的解集是（-∞，0）∪（$\frac{8}{3}$，+∞）；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-1，x≥2}\\{7-x，-3＜x＜2}\\{1-3x，x≤-3}\end{array}\right.$，
∴函数f（x）的最小值是5，
∴m+4≤5，解得：m≤1，
即m的范围是（-∞，1]．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，是一道中档题．