Question

定义在R上的函数y=f（x-1）的图象关于（1，0）对称，且当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（3^0.3）•f（3^0.3），b=（ln2）•f（ln2），c=（log 

1

2

4）•f（log 

1

2

4），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A、a＞b＞c
• B、a＞c＞b
• C、c＞b＞a
• D、c＞a＞b

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：由y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，得到f（x）关于原点对称，即函数f（x）为奇函数，然后构造函数g（x）=xf（x），利用导数判断函数g（x）的单调性，然后比较大小即可．

解答： 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
∴f（x）关于原点对称，即函数f（x）为奇函数．
设g（x）=xf（x），则g（x）为偶函数，
∴当x∈（-∞，0）时，g'（x）=f（x）+xf′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x∈（0，+∞）时，函数g（x）单调递增．
则a=g（3^0.3）=（3^0.3）•f（3^0.3），
b=g（ln2）=（ln2）•f（ln2），
c=g（log 

1

2

4）=（log 

1

2

4）•f（log 

1

2

4），
即c=g（log 

1

2

4）=g（-2）=g（2）．
∵2＞3^0.3＞1，0＜ln2＜1，log₃

1

9

=-2，
∴2＞3^0.3＞ln2，
∴g（2）＞g（3^0.3）＞g（ln2），
即c＞a＞b．
故选：D

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及利用导数研究函数的单调性问题，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强．