Question

10．抛物线x²=4y的焦点为F，过F作斜率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是（　　）

• A． 4
• B． $3\sqrt{3}$
• C． $4\sqrt{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 先判断△AHF为等边三角形，求出A的坐标，可求出等边△AHF的边长AH的值，△AHF的面积可求．

解答 解：由抛物线的定义可得AF=AH，∵AF的斜率等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴AF的倾斜角等于30°，∵AK⊥l，
∴∠FAK=60°，故△AHF为等边三角形．又焦点F（0，1），AF的方程为 y-1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
设A（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），m＞0，由AF=AH 得$\frac{{m}^{2}}{4}-1=2$，
∴m=2$\sqrt{3}$，故等边三角形△AHF的边长AH=4，
∴△AKF的面积是 $\frac{1}{2}$×4×4sin60°=4$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断△AKF为等边三角形是解题的关键．