Question

20．已知函数f（x）=ax²-4ax+4+b（a＞0），若f（x）在区间[3，4]上有最大值8，最小值5．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+2px在[3，5]上单调，求p的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f（x）的对称轴为x=2，而a＞0，从而可判断f（x）在[3，4]上单调递增，从而便有$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=5}\\{f（4）=8}\end{array}\right.$，这样即可求出a=1，b=4，从而得出f（x）；
（Ⅱ）先求出g（x）=x²+（2p-4）x+8，对称轴便为x=2-p，g（x）在[3，5]上单调，从而有2-p≤3，或2-p≥5，这样即可得出p的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的对称轴为x=2，a＞0；
∴f（x）在[3，4]上单调递增；
又f（x）在[3，4]上的最大值为8，最小值为5；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=9a-12a+4+b=5}\\{f（4）=16a-16a+4+b=8}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\end{array}\right.$；
∴f（x）=x²-4x+8；
（Ⅱ）g（x）=x²+（2p-4）x+8；
∴g（x）的对称轴为x=2-p；
又g（x）在[3，5]上单调；
∴2-p≤3，或2-p≥5；
∴p≥-1，或p≤-3；
∴p的取值范围为（-∞，-3]∪[-1，+∞）．

点评 考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及根据单调性定义求函数在闭区间上的最值．