Question

12．（1）已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|．若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．
（2）如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．
（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC； 
（Ⅱ）若HE=4，求ED．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）≥|a-1|，要使不等式f（x）≥a恒成立，则只要|a-1|≥a，由此求得a的范围．
（2）（Ⅰ）由条件利用与圆有关的比例线段，弦切角、圆周角的性质，角平分线的性质，证得∠DBE=∠DBC．
（Ⅱ）若HE=4，由条件证得△BDH≌△BDE，可得DE=DH．

解答 解：（1）由不等式的性质得：函数f（x）=|x-1|+|x-a|≥|a-1|，要使不等式f（x）≥a恒成立，则只要|a-1|≥a，
解得：$a≤\frac{1}{2}$，所以实数a的取值范围为$（{-∞，\frac{1}{2}}]$．
（2）（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB．
由AD为∠BAC 的平分线知∠DAB=∠DAC，又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB，∴∠DBE=∠DBC．
（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB，∴∠ADB=90°=∠BDE，又由（1）得∠DBE=∠DBH，
再根据BD=BD，可得△BDH≌△BDE，∴DE=DH．
∵HE=4，∴ED=2．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，与圆有关的比例线段，属于中档题．