Question

已知函数f﹙x﹚=a-

2

2x+1

，a∈R，若a=1，当x∈[1，+∞﹚时，有tf﹙x﹚≤2^x-2恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：先将a=1时的原函数进行化简，代入不等式，结合已知的x范围，可以判定f（x）＞0恒成立，再将t分离出来，此时只需t小于或等于右边函数式的最小值即可，求该函数的最小值时，将2^x-1换元成t可能更好．

解答： 解：将a=1代入函数f﹙x﹚=a-

2

2x+1

，得f（x）=1-

2

2x+1

，因为x≥1，所以2^x+1≥3，则

2

2x+1

∈（0，1），所以f（x）＞0，
所以要使x∈[1，+∞﹚时，有tf﹙x﹚≤2^x-2恒成立，
只需t≤

2x-2

f(x)

 （x≥1）恒成立即可，将f（x）代入化简后得t≤

(2x+1)(2x-2)

2x-1

，令m=2^x-1∈[1，+∞），
则问题转化为t≤m-

2

m

+1，m∈[1，+∞）时恒成立，又因为t=m-

2

m

+1在[1，+∞）上是增函数，
所以t≤(m-

2

m

+1)min=(1-2+1)=0，符合题意．
故t的范围是（-∞，0]．

点评：本题考查了不等式恒成立问题，先分离参数（能分离尽量分离），然后转化为求函数的最值问题，要注意中间用换元法时中间量的范围．