Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²-2（2+a）x+3（1+2a）（其中a∈R）．
（1）求f（3）的值；           
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数的值

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把x=3代入f（x）中求值即可；
（2）由f（x）＞0，得x²-2（2+a）x+3（1+2a）＞0，化简、讨论a的取值，得出不等式的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-2（2+a）x+3（1+2a），
∴f（3）=9-6（2+a）+3+6a=0；（4分）
（2）∵f（x）＞0，
∴x²-2（2+a）x+3（1+2a）＞0，
即（x-3）（x-1-2a）＞0；（6分）
①当1+2a＞3，即a＞1时，不等式解为：x＞1+2a，或x＜3；
②当1+2a=3，即a=1时，不等式解为：x∈R，且x≠3；
③当1+2a＜3，即a＜1时，不等式解为：x＜1+2a，或x＞3；（10分）
综上，当a＞1时，不等式的解集为：（-∞，3）∪（1+2a，+∞），
当a=1时，不等式的解集为：（-∞，3）∪（3，+∞），
当a＜1时，不等式的解集为：（-∞，1+2a）∪（3，+∞）．（12分）

点评：本题考查了求函数的值以及解含有字母系数的一元二次不等式的问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题．