Question

1．已知函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，且f（-1）=e，g（x）=-4^x+m•2^x+1+m²+2m-1，若M={x|f（g（x））＞e}=R，则实数m的取值范围是[-2，0]．

Answer 1

分析 根据函数单调性的性质将不等式进行转化不等式恒成立问题，构造函数，利用换元法转化为一元二次函数恒成立进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，且f（-1）=e，
∴不等式f（g（x））＞e等价为f（g（x））＞f（-1），
即g（x）＜-1，
若M={x|f（g（x））＞e}=R
则等价为g（x）＜-1恒成立，
即-4^x+m•2^x+1+m²+2m-1＜-1，
即-4^x+m•2^x+1+m²+2m＜0恒成立，
设t=2^x，则t＞0，
则不等式等价为-t²+2mt+m²+2m＜0，
即t²-2mt-m²-2m＞0，在（0，+∞）上恒成立，
设h（t）=t²-2mt-m²-2m，
①$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-2m}{2}=m≤0}\\{h（0）=-{m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≤0}\\{-2≤m≤0}\end{array}\right.$，即-2≤m≤0，
②$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}+4（{m}^{2}+2m）＜0}\\{-\frac{-2m}{2}＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m＜0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜0}\\{m＞0}\end{array}\right.$此时无解，
综上-2≤m≤0，
故答案为：[-2，0]．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数单调性进行转化，利用换元法，构造法转化为一元二次函数问题是解决本题的关键．综合性较强．