Question

8．2012年全国中学生机器人大赛选选拔赛中，机器人刚开始在原点位置，为了让机器人完成某项任务，学生给机器人设置了以下指令：先逆时针旋转α角，然后向前进1米，将该指令进行一次称为一次操作，试用向量解决以下问题．
（1）当α=$\frac{π}{3}$时，经过几次操作才能回到原点？
（2）是否存在α，使机器人经过10次操作，能首次回到原点？

Answer 1

分析 （1）如图所示，当α=$\frac{π}{3}$时，经过1次操作到A₁点，经过2次操作到A₂点，利用多边形外角和定理及其向量多边形法则即可得出．
（2）根据多边形外角和定理α=$\frac{2π}{10}$．

解答 解：（1）如图所示，
当α=$\frac{π}{3}$时，经过1次操作到A₁点，经过2次操作到A₂点，
6α=2π（多边形外角和定理）．
∴$\overrightarrow{O{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{A}_{5}{A}_{6}}$=$\overrightarrow{0}$，
因此当α=$\frac{π}{3}$时，经过6次操作才能回到原点．
（2）根据多边形外角和定理α=$\frac{2π}{10}$=$\frac{π}{5}$．
∴存在α=$\frac{π}{5}$，使机器人经过10次操作，能首次回到原点．

点评 本题考查了多边形外角和定理、向量的多边形法则，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．