Question

19．求数列1，1+a，1+a+a²，…，1+a+a²+…+a^n-1，…的前n项和S_n（其中a≠0）．

Answer 1

分析 先通过对a=1与a≠1的讨论分别利用公式法求解数列的通项，进而即可求出数列的和．

解答 解：当a=1时，数列的通项公式a_n=1+a+a²+…+a^n-1=n，
则S_n=a₁+a₂+…+a_n=1+2+…+n=$\frac{1}{2}n（n+1）$；
当a≠1时，有a_n=1+a+a²+…+a^n-1=$\frac{1（1-{a}^{n}）}{1-a}=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{a-1}•{a}^{n}$
S_n=a₁+a₂+…+a_n
=（$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{a-1}$•a）+（$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{a-1}$•a²）+…+（$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{a-1}$•aⁿ）
=n×$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{a-1}$（a+a²+…+aⁿ），
=$\frac{n}{1-a}$+$\frac{1}{a-1}$•$\frac{a（1-{a}^{n}）}{1-a}$
=$\frac{{a}^{n+1}-a}{（1-a）^{2}}+\frac{n}{1-a}$．
故当a=1时，数列的前n项和S_n=$\frac{1}{2}n（n+1）$；
当a≠1时，S_n=$\frac{{a}^{n+1}-a}{（1-a）^{2}}+\frac{n}{1-a}$．

点评 本题考查等差数列以及等比数列的前n项和公式，分类讨论思想的应用，考查计算能力．