Question

14．已知f（x）=3x²-3，g（x）=${∫}_{0}^{x}$f（t）dt（x＞0）．
（1）求g（x）的最小值；
（2）求由f（x），g（x），x=1，x=2所成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据定积分求出g（x）的表达式，再利用导数求出函数的最小值；
（2）根据定积分的几何意义得到S=${∫}_{1}^{2}$（f（x）-g（x））dx，根据定积分的法则计算即可．

解答 解：（1）f（x）=3x²-3，g（x）=${∫}_{0}^{x}$f（t）dt（x＞0），
∴g（x）=（t³-3t）|${\;}_{0}^{x}$=x³-3x，
∴g′（x）=3x²-3，
令g′（x）=0，解得x=1，
当g（x）＞0时，即x＞1时，函数g（x）单调递增，
当g（x）＜0时，即0＜x＜1时，函数g（x）单调递减，
故g（x）_min=g（1）=1-3=-2，
（2）由f（x），g（x），x=1，x=2所成的图形的面积S=${∫}_{1}^{2}$（f（x）-g（x））dx=${∫}_{1}^{2}$（f（x）-g（x））dx=${∫}_{1}^{2}$（3x²-3-x³+3x）dx=（x³-3x-$\frac{1}{4}$x⁴+$\frac{3}{2}$x²）|${\;}_{1}^{2}$=$\frac{19}{4}$．

点评 本题考查了定积分的计算和导数和函数的最值的关系，关键是掌握法则，属于基础题．