Question

4．已知集合P={x|$\frac{1}{2}≤x≤2$}，函数f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定义域为Q，若P⊆Q，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 P⊆Q，则说明不等式ax²-2x+2＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，分离参数后转化为函数最值问题即可解决．

解答 由已知Q={x|ax²-2x+2＞0}，
若P⊆Q，则说明不等式ax²-2x+2＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
即不等式a＞$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
令u=$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，则只需a＞u_max即可．
又u=$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=-2（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$．
当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，2]，从而u∈[-4，$\frac{1}{2}$]，u_max=$\frac{1}{2}$
∴a＞$\frac{1}{2}$
所以实数a的取值范围是a＞$\frac{1}{2}$．

点评 对数函数的定义域，集合关系中的参数取值问题．想办法分离参数转化为求函数的最值问题．