Question

1．若定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1），都有$f（x）+f（y）=f（\frac{x+y}{1+xy}）$，则称f（x）为漂亮函数．
（1）已知$g（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$，问g（x）是否为漂亮函数，并说明理由；
（2）已知f（x）为漂亮函数，判断f（x）的奇偶性；
（3）若漂亮函数f（x）满足：当x∈（0，1）时，都有f（x）＞0，试判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据平了函数的定义，证明g（x）+g（y）=g（$\frac{x+y}{1+xy}$），即可．
（2）利用赋值法，x=y=0求出f（0）的值，结合y=-x，利用已知条件，推出函数是奇函数即可．
（3）先设0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），根据题目条件进行化简变形判定其符号，根据函数单调性的定义即可判定．

解答 解：（1）∵g（x）+g（y）=lg$\frac{1-x}{1+x}$+lg$\frac{1-y}{1+y}$=lg（$\frac{1-x}{1+x}$•$\frac{1-y}{1+y}$）=lg$\frac{1+xy-（x+y）}{1+xy+x+y}$，
g（$\frac{x+y}{1+xy}$）=lg$\frac{1-\frac{x+y}{1+xy}}{1+\frac{x+y}{1+xy}}$=lg$\frac{1+xy-（x+y）}{1+xy+x+y}$，
则g（x）+g（y）=g（$\frac{x+y}{1+xy}$），成立，即g（x）是漂亮函数．
证明：由x=y=0得f（0）+f（0）=f（$\frac{0+0}{1+0}$）=f（0），∴f（0）=0，
任取x∈（-1，1），则-x∈（-1，1），f（x）+f（-x）=f（$\frac{x-x}{1-{x}^{2}}$）=f（0）=0．
∴f（x）+f（-x）=0，
即f（x）=-f（-x）．
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．
f（x）在（-1，1）上单调递增，
∵f（x）在（-1，1）上为奇函数，且f（0）=0，
∴只需要证明当x∈（0，1）时，函数的单调性即可，
证明：设0＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）．
∵x∈（0，1）时，都有f（x）＞0，
∴x∈（-1，0）时，都有f（x）＜0
而x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1所以-1＜$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＜0
∵当x∈（-1，0）时，f（x）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）＜0
即当x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上单调递增．
即f（x）在（-1，1）上单调递增

点评 本题主要考查抽象函数的应用以及，函数的单调性的判定与证明，以及函数奇偶性的判定，函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质，单调性是函数的“局部”性质，综合考查函数的性质．