题目内容

12．双曲线$\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{9}=1$的实轴长等于$2\sqrt{3}$．

分析 由双曲线的方程可得焦点在y轴上，求得a=$\sqrt{3}$，即可得到实轴长2a．

解答 解：双曲线$\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{9}=1$的a=$\sqrt{3}$，
可得实轴长为2a=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是实轴长的求法，考查运算能力，属于基础题．

练习册系列答案
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2．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为$120\sqrt{6t}$吨（0≤t≤24）
（1）设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，写出y关于t的函数表达式；
（2）求从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
（3）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？
3．已知点F（$\sqrt{5}$，0）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离等于2，则过点F且与此双曲线只有一个交点的直线方程为y=2x-2$\sqrt{5}$或y=-2x+2$\sqrt{5}$．
20．知点A，B分别为双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为（　　）
A．$\sqrt{5}$B．2C．$\sqrt{3}$D．$\sqrt{2}$
7．已知双曲线$C：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的左焦点为F，P为双曲线C右支上的动点，A（0，4），则△PAF周长的最小值为14．
17．若点O和点F分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y2=1的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范围为[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．
4．若点F1，F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左右两个焦点，过点F2垂直x轴的直线交双曲线及双曲线的渐近线依次为A1，B1，B2，A2（从上到下），且$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=4$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{2}}$，则双曲线的渐进线方程为y=±$\frac{\sqrt{15}}{15}$x．
1．若定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1），都有$f（x）+f（y）=f（\frac{x+y}{1+xy}）$，则称f（x）为漂亮函数．
（1）已知$g（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$，问g（x）是否为漂亮函数，并说明理由；
（2）已知f（x）为漂亮函数，判断f（x）的奇偶性；
（3）若漂亮函数f（x）满足：当x∈（0，1）时，都有f（x）＞0，试判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并给出证明．
2．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为$\frac{3}{4}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$，选手选择继续闯关的概率均为$\frac{1}{2}$，且各关之间闯关成功与否互不影响．
（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；
（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．

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