Question

【题目】已知函数 .

（1）当时，

①求曲线在点处的切线方程；

②求函数在区间上的值域.

（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①②；（2）.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得函数的解析式，

①利用导数研究切线方程可得曲线在点处的切线方程为.

②利用导函数研究函数的单调性可得在区间上的值域为.

(2)原问题等价于.构造函数，分类讨论可得实数的取值范围是.

试题解析：

（1）当时， ，

①，由， ，

则曲线在点处的切线方程为，整理为： .

②令，有，

当时， ，

当时，得，解得： ，

故当时， ，可得，函数在区间上单调递减，

， ，

故函数在区间上的值域为.

（2）由，有，故可化为.

整理得： .

即函数在区间为增函数，

，

，故当时， ，即，

①当时， ；

②当时，整理为： ，

令，有 ，

当， ， ，有，

当时，函数单调递减，故，

故有： ，可得.