题目内容
【题目】已知椭圆
： 
的离心率为
，焦距为
，抛物线
： 
的焦点
是椭圆
的顶点.
（1）求
与
的标准方程；
（2）
上不同于
的两点
， 
满足
，且直线
与
相切，求
的面积.
【答案】（1）
.
.（2）
.
【解析】试题分析：⑴设椭圆
的焦距为
，依题意求出
， 
，由此求出椭圆
的标准方程；又抛物线
： 
开口向上，故
是椭圆
的上顶点，由此能求出抛物线
的标准方程；
⑵设直线
的方程为
，设
， 
，则能得到
， 
，联立
，得
，；由此利用根的判别式，韦达定理，弦长公式，结合已知条件能求出
的面积
解析：（1）设椭圆
的焦距为
，依题意有
， 
解得
， 
，故椭圆
的标准方程为
.
又抛物线
： 
开口向上，故
是椭圆
的上顶点， 
，，故抛物线
的标准方程为
.
（2）显然，直线
的斜率存在.设直线
的方程为
，设
， 
，则
， 
，
，
即
联立
，消去
整理得， 
.
依题意
， 
，是方程
的两根， 
，
， 
，
将
和
代入
得
，
解得
，（ 
不合题意，应舍去）
联立
，消去
整理得， 
，
令
，解得
.
经检验， 
， 
符合要求.
此时， 
，
.
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