题目内容
【题目】已知正整数数列
满足：
，
，
（
）.
（1）已知
，
，试求
、
的值；
（2）若
，求证：
；
（3）求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）详见解析；（3）
【解析】
（1）根据递推式赋值逆推，分别求出
即可求出
的值；
（2）根据递推式赋值求出
的值，即可找出数列
的规律，由此得证；
（3）依据
，讨论
与
的大小关系即可得出．
（1）令
得，
，解得
；
令
得，
，解得
；
令
得，
，解得
；
令
得，
，解得
；
所以．
（2）证明：令得，
，因为数列各项为正整数，
2019的正整数约数有1，3，673，2019，因此
的值可能为3，673，2019，即
或
或
.
当时，
，
，所以不符题意，应舍去；
当时，
，
，所以不符题意，应舍去；
当时，
，
，
，
，……
所以
，当
为奇数时，
；当为偶数时，
；
故
，不等式成立．
（3）由（1）（2）可知，当
或
可以满足题意，所以
或
．
．
①当
时，奇数项都相等，偶数项都相等且
，即有
，因为数列各项为正整数，且
，所以或或
或
此时或；
②当
时，奇数项递增，偶数项递增，而
，随着 的增大，存在
时，
，这样与条件矛盾，故不成立；
③当
时，奇数项递减，偶数项递减，而
，随着 的增大，存在时，
，这样与条件矛盾，故不成立；
综上，或，即
．
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