Question

17．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF₂分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，若|PF₁|=2|PF₂|，且∠MF₂N=60°，则双曲线C的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意，|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，由∠MF₂N=60°，可得∠F₁PF₂=60°，由余弦定理可得4c²=16a²+4a²-2•4a•2a•cos60°，即可求出双曲线C的离心率．

解答 解：由题意，|PF₁|=2|PF₂|，
由双曲线的定义可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
由四边形PF₁MF₂为平行四边形，
又∠MF₂N=60°，可得∠F₁PF₂=60°，
在三角形PF₁F₂中，由余弦定理可得
4c²=16a²+4a²-2•4a•2a•cos60°，
即有4c²=20a²-8a²，即c²=3a²，
可得c=$\sqrt{3}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线C的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．