等腰△ABC的角A=$\frac{π}{3}$.|BC|=2.以A为圆心.$\sqrt{3}$为半径作圆.MN为该圆的一条直径.则$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{CN}$的最大值为2$\sqrt{3}$-1．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．等腰△ABC的角A=$\frac{π}{3}$，|BC|=2，以A为圆心，$\sqrt{3}$为半径作圆，MN为该圆的一条直径，则$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{CN}$的最大值为2$\sqrt{3}$-1．

分析利用平面向量的三角形法则，进行数量积的运算，得到关于夹角θ的余弦函数解析式，借助于有界性求最值即可．

解答解：设$\overrightarrow{CB}$与$\overrightarrow{AM}$的夹角为θ，
∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AM}$）•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AN}$）=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AM}$•（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{BA}$）-${\overrightarrow{AM}}^{2}$=2×2×$\frac{1}{2}$+$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AM}$-3=2$\sqrt{3}$cosθ-1≤2$\sqrt{3}$-1
故答案为：$2\sqrt{3}-1$

点评本题考查了平面向量的数量积运算，借助于余弦函数的有界性求最值；属于中档题．

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