Question

17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．
（I）求证：BC⊥平面ACFE；
（II）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，若证得AC⊥BC，则据面面垂直的性质定理即可．转化成在平面ABCD，能否有AC⊥BC，易证成立．
（Ⅱ）设AC∩BD=N，则面AMF∩平面BDF=FN，只需AM∥FN即可．而CN：NA=1：2．故应有EM：FM=1：2

解答 （Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，
∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°        
∴四边形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又∵平面ACF⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．
（Ⅱ）当EM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a时，AM∥平面BDF．
在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：NA=1：2．
∵EM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a而EF=AC=$\sqrt{3}$a，∴EM：FM=1：2．∴EM∥CN，EM=CN，
∴四边形ANFM是平行四边形．∴AM∥NF．
又NF?平面BDF，AM?平面BDF．∴AM∥平面BDF．

点评 本题考查线面位置关系及判定，考查空间想象能力，计算能力，转化能力．