Question

已知无穷数列的前项和为，且满足，其中、、是常数.
（1）若，，，求数列的通项公式；
（2）若，，，且，求数列的前项和；
（3）试探究、、满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列.

Answer 1

（1）；（2）；（3），或或，．

试题分析：（1）已知与的关系，要求，一般是利用它们之间的关系，把，化为，得出数列的递推关系，从而求得通项公式；（2）与（1）类似，先求出，时，推导出与之间的关系，求出通项公式，再求出前项和；（3）这是一类探究性命题，可假设结论成立，然后由这个假设的结论来推导出条件，本题设数列是公比不为的等比数列，则，，代入恒成立的等式，得
对于一切正整数都成立，所以，，，得出这个结论之后，还要反过来，由这个条件证明数列是公比不为的等比数列，才能说明这个结论是正确的．在讨论过程中，还要讨论的情况，因为时，，，当然这种情况下，不是等比数列，另外．
试题解析：（1）由，得；               1分
当时，，即        2分
所以；                     1分
（2）由，得，进而，    1分
当时，
得，
因为，所以，           2分
进而                   2分
（3）若数列是公比为的等比数列，
①当时，，
由，得恒成立.
所以，与数列是等比数列矛盾；              1分
②当，时，，，        1分
由恒成立，
得对于一切正整数都成立
所以，或或，            3分
事实上，当，或或，时，
，时，，得或
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列          2分与的关系：，等差数列与等比数列的定义．