Question

9．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x）＜$\frac{1}{3}$，则不等式f（lgx）＞$\frac{lgx+2}{3}$的解集为（0，10）．

Answer 1

分析 根据条件$f′（x）-\frac{1}{3}＜0$，从而得出函数$F（x）=f（x）-\frac{x+2}{3}$在R上为减函数，并可得出F（1）=0，这样根据不等式$f（lgx）＞\frac{lgx+2}{3}$即可得到F（lgx）＞F（1），从而根据F（x）和对数函数的单调性即可得出不等式F（lgx）＞F（1）的解集，即得出原不等式的解集．

解答 解：∵f′（x）＜$\frac{1}{3}$；
∴$f′（x）-\frac{1}{3}＜0$；
∴$f（x）-\frac{x+2}{3}$在R上为减函数；
设$F（x）=f（x）-\frac{x+2}{3}$，则F（x）在R上为减函数；
∵f（1）=1；
∴F（1）=f（1）-1=1-1=0；
由$f（lgx）＞\frac{lgx+2}{3}$得，$f（lgx）-\frac{lgx+2}{3}＞0$；
∴F（lgx）＞F（1）；
∵F（x）在R上单调递减；
∴lgx＜1；
∴0＜x＜10；
∴原不等式的解集为（0，10）．
故答案为：（0，10）．

点评 考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及构造函数解决问题的方法，以及根据函数单调性解不等式的方法，对数函数的单调性．