Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

与x=1时都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求实数c的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象与x轴有3个交点，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导f′（x）=3x²+2ax+b；代入x=-

2

3

与x=1求a，b的值；
（Ⅱ）f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，x∈[-1，2]，利用导数求出函数的最大值，从而得到c²＞f（2）=2+c，从而求实数c的取值范围；
（Ⅲ）解：当x=1时有极小值f（1）=1-

1

2

-2+c=-

3

2

+c；结合极大值及函数的图象求解实数c的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x³+ax²+bx+c，
f′（x）=3x²+2ax+b；
由f′（-

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，
f′（1）=3+2a+b=0联立解得，
a=-

1

2

，b=-2；
（Ⅱ）f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，x∈〔-1，2〕，当x=-

2

3

时，f（x）=

22

27

+c为极大值，
而f（2）=2+c，
则f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c²（x∈〔-1，2〕）恒成立，
只需c²＞f（2）=2+c，
解得c＜-1或c＞2．
（Ⅲ）解：当x=1时有极小值f（1）=1-

1

2

-2+c=-

3

2

+c；
故-

3

2

+c＜0＜

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27

+c；
故-

22

27

＜c＜

3

2

．

点评：本题考查了导数的综合应用及数形结合的数学思想，属于中档题．