Question

设曲线C是动点P到定点F（2，0）的距离和到定直线x=

1

2

的距离之比为2的轨迹．   
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）已知存在直线l经过点M（1，m）（m∈R），交曲线C于E，F两点，使得M为EF的中点．
（i）求m的取值范围； 
（ii）求|EF|的最小值．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设点P的坐标为P（x，y），则由题设知

(x-2)2+y2

|x- 1 2 |

=2，化简即可得出．
（II）设直线l的方程为y=k（x-1）+m，
（i）与双曲线方程联立可得（3-k²）x²+2k（k-m）x-（k-m）²-3=0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），利用根与系数的关系与中点坐标公式可得

x1+x2

2

=1，化为km=3．
由△＞0即可解得k的取值范围．
（ii）利用弦长公式与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（I）设点P的坐标为P（x，y），则由题设知

(x-2)2+y2

|x- 1 2 |

=2，
化简得x2-

y2

3

=1即为曲线C的方程．
（II）由题设知，设直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-1）+m，
（i）联立

y=k(x-1)+m 3x2-y2=3

，化为（3-k²）x²+2k（k-m）x-（k-m）²-3=0，①
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），故有3-k²≠0，
∴x1+x2=

2k(m-k)

3-k2

，x₁x₂=

-(k-m)2-3

3-k2

．
又M为EF的点，∴

x1+x2

2

=1，化为km=3．
此时方程①可化为x2-2x+1-

m2

3-k2

=0，
由△＞0解得

m2

3-k2

＞0，∴k²＜3，从而m²＞3．
即m∈(-∞，-

3

)∪(

3

，+∞)．
（ii）∵|EF|²=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[4+

4(k2+m2-3)

3-k2

]
=

4(1+k2)m2

3-k2

=

4(m2+9)m2

3(m2-3)

．
令t=m²-3（t＞0），则|EF|²=

4

3

(t+

36

t

+15)≥36，
当t=6，即m=±3时，|EF|_min=6．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．