Question

已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4，当时，若对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导函数，令f′（x）=0，得，再进行分类讨论：当时，f'（x）≤0；当时，，在（0，1）和上，有f'（x）＜0，在上，f'（x）＞0，由此即可得到结论；
（Ⅱ）当时，，，确定函数f（x）在（0，2）的最小值，再将对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，转化为只需当x∈[1，2]时，g_max（x）≤f（x）_min即可，由此可求实数b的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）求导函数可得：=
令f′（x）=0，得…（3分）
当时，f'（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减         …（4分）
当时，，在（0，1）和上，有f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
在上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增    …（6分）
（Ⅱ）当时，，
由（Ⅰ）知，函数f（x）在（0，1）上是单调递减，在（1，2）上单调递增，
所以函数f（x）在（0，2）的最小值为…（8分）
若对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
只需当x∈[1，2]时，即可，
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]
当b＜1时，g（x）_min=g（1）=5-2b＞0，不合题意，舍去，
当b∈[1，2]时，g（x）_min=g（b）=4-b2≥0，不合题意，舍去，
当b＞2时，g（x）_min=g（2）=8-4b≤-，b≥．
综上，实数b的取值范围是[，+∞）．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，解题的关键是将对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，转化为只需当x∈[1，2]时，g_max（x）≤f（x）_min．