Question

已知函数f（x）=

(x+1)2+sinx

x2+1

，其导函数记为f′（x），则f（2014）+f′（2014）+f（-2014）-f′（-2014）=

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：先分离常数，令g（x）=

2x+sinx

x2+1

，得到g（x）为奇函数，在求f′（-x）=-f′（x），问题得以解决．

解答： 解：f（x）=

(x+1)2+sinx

x2+1

=

x2+2x+1+sinx

x2+1

=1+

2x+sinx

x2+1

，
设g（x）=

2x+sinx

x2+1

，则g（-x）=-g（x），
∵f′（x）=g′（x）=

(2+cosx)-(2x+sinx)•(2x)

(x2+1)2

=

2(1+x2)+cosx-2xsinx

(x2+1)2

=

2

x2+1

+

cox-2xsinx

(x2+1)2

，
∴f′（-x）=-f′（x），
∴f（2014）+f′（2014）+f（-2014）-f′（-2014）=2．
故答案为：2

点评：本题主要考查了导数的运算法则和函数的奇偶性，属于中档题．