Question

（理）设二面角α-AB-β棱上一点P，DP在α内与AB成45°角，与平面β成30°角，则二面角α-AB-β的度数是

 

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：

分析：过点D作DO⊥AB交AB于O，过点D作DE⊥平面β于E，设DE=a，则DP=2a，PE=

3

a，DO=PO=

2

a，OE=a，PO⊥OE，又PO⊥AB，DO∩OE=O，从而∠DOE为二面角α-AB-β的大小或二面角的补角的大小，由此能求出二面角α-AB-β的度数．

解答： （理）解：过点D作DO⊥AB交AB于O，
则∠DPB=45°，∠DOB=90°过点D作DE⊥平面β于E
则∠DPE=30°，∠DEP=90°，
设DE=a，
可得：DP=2a，PE=

3

a，DO=PO=

2

a
∵DE⊥平面β，PE?β
∴DE⊥PE，
故OE=

PD2-PE2

=a，
∵OE²+PO²=a²+2a²=3a²，
PE²=3a²，
∴OE²+PO²=PE²，
故PO⊥OE，又PO⊥AB，DO∩OE=O
∴∠DOE为二面角α-AB-β的大小或二面角的补角的大小
∵DE⊥DE，DE=OE，
∴∠DOE=45°，
∴二面角α-AB-β的度数是45°或135°．
故答案为：45°或135°．

点评：本题考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．