Question

已知函数f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R。

(1)若函数f(x)在上是减函数，求实数a的取值范围；

(2)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝2x＋a－＝≤0在上恒成立

令h(x)＝2x2＋ax－1，x∈，∴h(x)≤0在上恒成立

∴得，∴a≤－.    --------5分

 (2)假设存在实数a，使g(x)＝f(x)－x2，x∈(0，e]有最小值3

g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝

①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减

∴g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝(舍去)

②当0<<e即a>时，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0

∴g(x)在(0，]上单调递减，在(，e]上单调递增

∴g(x)min＝g＝1＋lna＝3，∴a＝e2满足条件

③当≥e即0<a≤时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减

g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3

∴a＝>(舍去)

综上所述：a＝e2        --------10分