Question

已知函数f（x）=1n（2ax+1）+－x²－2ax（a∈R）．
（1）若y=f（x）在[4，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=时，方程f（1－x）=有实根，求实数b的最大值．

Answer 1

（1）  （2）取到最大值

试题分析：（1）因为函数在上为增函数，所以
在上恒成立。
①当时，在上恒成立，所以在上为增
函数，故符合题意。
②当时，由函数的定义域可知，必须有在上恒成立，
故只能，所以在上恒成立。 .
令函数，其对称轴为，因为，
所以，要使在上恒成立，只要即可，即，所以，因为，所以
综上所述，的取值范围为               
（2）当，方程可化为。问题转
化为在上有解，即求函数的值域。令函数   
则，所以当时，，函数在上为增函数，当时，，函数在上为减函数，因此。而，所以，因此当时，取到最大值.
点评：本题主要考查了利用函数的导数求解函数极值的应用，及利用函数的导数研究函数的单调性及函数的最值的求解，解答本题要求考生具备较强的逻辑推理与运算的能力．